문서의 임의 삭제는 제재 대상으로, 문서를 삭제하려면 삭제 토론을 진행해야 합니다. 문서 보기문서 삭제토론 스넬의 법칙 (문단 편집) === [[변분법]]을 통한 유도 === [[파일:namu_스넬법칙_변분법.png |width=270&align=center]] 이번에도 [math(xy)]평면에서 빛이 이동한다고 가정할 것이다. 이때, 빛의 궤적이 어떠한 함수 [math(y(x))]의 그래프를 따라간다고 가정하면, 미소 거리 [math({\rm d}s)]를 지날 때 걸리는 미소 시간은 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle {\rm d}t=\frac{n(x)\,{\rm d}s}{c} )]}}} [math(n(x))]는 [math(x)]에서의 굴절률이다. 따라서 점 [math({\rm P}(x_{1},\,y_{1}) \to {\rm Q}(x_{2},\,y_{2}))]로 빛이 이동했다고 가정하면 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle t=\frac{1}{c}\int_{x_{1}}^{x_{2}} n(x)\sqrt{1+y'^{2} }\,{\rm d}x )]}}} 따라서 [math(t)]는 범함수가 되며, 이것이 최소화되려면 [[오일러 방정식]] {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \frac{\partial J}{\partial y}-\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}\frac{\partial J}{\partial y'}=0 \qquad (J\equiv n(x)\sqrt{1+y'^{2} }))]}}} 을 만족해야 한다. 이상에서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \frac{{\rm d}}{{\rm d}x} \biggl[n(x) \cdot \frac{y'}{\sqrt{1+y'^2}} \biggr] &=0 \end{aligned})]}}} 를 얻으므로 결국 각괄호 안은 상수가 돼야 한다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle n(x) \cdot \frac{y'}{\sqrt{1+y'^2}}=\textsf{const.} )]}}} 이때, [math(n(x) \geq 0)]이고, 위 식에 절댓값을 씌워 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle n(x) \cdot\biggl| \frac{y'}{\sqrt{1+y'^2}} \biggr|=\textsf{const.} )]}}} 임을 얻는다. 그런데 위 그래프의 점 [math(\rm R)]을 보면 결국 [math(y')]은 해당 점에서의 접선의 기울기와 같고, 그 값은 점 [math(\rm{R})]에 [math(x)]축과 평행한 선을 그었을 때, 접선과 해당 선이 이루는 예각의 크기를 [math(\theta)]라 하면 [math(\tan{(\pi-\theta)}=-\tan{\theta})]이고, [math(|y'|=\tan{\theta})]이다. 이상에서 {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} \biggl| \frac{y'}{\sqrt{1+y'^2}} \biggr|&= \frac{|y'|}{\sqrt{1+|y'|^2}} \\&= \frac{\tan{\theta}}{\sqrt{1+\tan^2{\theta} }} \\ &= \frac{\tan{\theta}}{\sec{\theta}} \\&=\sin{\theta} \end{aligned} )]}}} 따라서 다음의 스넬의 법칙을 얻는다. {{{#!wiki style="text-align: center" [br][math(\displaystyle \begin{aligned} n(x)\sin{\theta}=\textsf{const.} \end{aligned} )]}}}저장 버튼을 클릭하면 당신이 기여한 내용을 CC-BY-NC-SA 2.0 KR으로 배포하고,기여한 문서에 대한 하이퍼링크나 URL을 이용하여 저작자 표시를 하는 것으로 충분하다는 데 동의하는 것입니다.이 동의는 철회할 수 없습니다.캡챠저장미리보기